Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y y'=ay ( 4 exercices) Exercice 3 Exercice 4 Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y y'=ay avec une condition ( 3 exercices) Exercice 3 Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y + b y'=ay+b ( 2 exercices) Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y + b y'=ay+b avec une condition ( 4 exercices) Exercice 2 Exercice 3 Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y + f y'=ay+f ( 5 exercices) Exercice 4 Les classiques... en devoir ( 3 exercices)
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Étape 2 – Autres solutions de
Les solutions de
l'équation y ' = 2 y
sont de la forme x → C e 2 x,
On en déduit que les solutions de
l'équation y ' = 2 y + x 2 + 3
sont de la forme.
Cours de maths sur les équations différentielles du premier ordre avec résolution en classe de terminale s. Introduction
• Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction f. De plus, cette équation fait intervenir la fonction f ainsi que ses dérivées successives, d'où le terme différentiel. • Les équations différentielles apparaissent naturellement dans de nombreux domaines: physique, électricité, biologie, chimie, évolution des populations, modélisation informatique…. • En électricité, l'équilibre stationnaire d'un circuit électrique RLC(Résistance-Bobine) est traduit par l'équation: E = Ri(t) + L i'(t) où i est l'intensité du courant et t la variable temps. • En sciences physiques encore, si N(t) désigne le nombre de noyaux désintégrés à l'instant t, l'expérience montre que N '(t) = -kN (t) où k est une constante. • La résolution de ces équations est donc fondamentale dans de nombreux domaines déjà rencontrées lors de la construction de la fonction exponentielle, nous étudierons en priorité les équations différentielles du type y' = ay + b, où la fonction y est l'inconnue, et a et b sont deux réels.
Cours équations différentielles terminale s r
I La notion d'équations différentielles Les équations différentielles sont des équations portant sur des fonctions. Elles sont très utiles en modélisation, notamment lors de la modélisation de phénomènes physiques. Équation différentielle On appelle équation différentielle une égalité reliant une fonction dérivable et sa dérivée. L'équation y'(x)+2 y(x)=\text{e}^x est une équation différentielle d'inconnue y. Solution d'une équation différentielle Soit E une équation différentielle et soit un intervalle I. On appelle solution de l'équation différentielle E sur I toute fonction dérivable sur I vérifiant l'égalité correspondant à l'équation. Soit E l'équation différentielle y'=2y. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\text{e}^{2x}. f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x: f'(x)=2\text{e}^{2x} La fonction f est donc solution sur \mathbb{R} de l'équation différentielle E. Ordre d'une équation différentielle On appelle équation différentielle du premier ordre une équation différentielle faisant intervenir une fonction et sa dérivée.
L'énergie interne d'un système thermodynamique
L'énergie interne d'un système thermodynamique (formé d'un grand nombre de constituants) est assimilable à l'énergie microscopique, somme:
d'une énergie interne fondamentale (énergie de masse, énergie au sein des atomes et des molécules) supposée constante, qu'on peut prendre nulle
des énergies cinétiques individuelles des constituants autour du centre du système
des énergies potentielles d'interaction entre tous les couples de constituants. est exprimée en joules (J)
2. Système incompressible en terminale générale
Pour un système incompressible subissant une transformation entre un état initial et un état final, la variation d'énergie interne est proportionnelle à la variation de température. avec la capacité thermique du système, exprimée en joules par kelvin ()
3. Lorsqu'un système subit un transfert thermique
par conduction (au contact direct)
par convection (par l'intermédiaire d'un fluide)
par rayonnement (par échange de photons émis et absorbés)
on note l'énergie thermique transférée, exprimée en joules.
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Ils ont même de bonne chances de le faire aussi pour une équation du premier ordre. Tout de même pour la culture, un problème de Cauchy (du premier ordre) est un système comme suit:
{ y ′ + a y = b y ( c) = d \begin{cases}
y'+ay=b\\
y(c)=d\\
\end{cases}
a a et b b peuvent être des réels ou des fonctions, c c et d d sont des réels. Un tel système admet une et une seule fonction pour solution. En physique, la deuxième équation est généralement obtenue grâce aux conditions initiales. Par S321
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I. Vocabulaire et généralités. Dans une équation différentielle l'inconnue est une fonction, notée y en général. L'équation est dite différentielle car elle fait intervenir les dérivées successives de la fonction y.
Rappelons en effet que la dérivée est associé à un taux de variation (ou croissance), qui est lui-même une différence (quotient des variations de y sur variation de x): d'où le terme différentiel. Résoudre l'équation différentielle y' = ay + b c'est trouver toutes les fonctions f dérivables sur IR telles que pour tout x, f '(x) = af(x) + b où a et b sont deux constantes (indépendant de x). Précisons aussi que l'équation y' = ay + b est dite du premier ordre car elle fait intervenir seulement la dérivée première. Evidemment, il y des équations différentielles du 2ème ordre, du 3ème …
II. Résolution de y' = ay, a constante réelle:
Théorème:
1. Les fonctions solutions de l'équation y' = ay sont les fonctions définies sur par. 2. Il existe une unique fonction dérivable f telle que y' = ay et: k est alors fixé par cette condition initiale.
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